10H – VP – GM2 – Aires et Volumes

La formule de Héron

On ne sait pas grand-chose de ce personnage de l’Antiquité connu pour ses travaux en optique. Héron d’Alexandrie aurait vécu au alentour du Ier siècle de notre ère mais nous n’avons aucune certitude à ce sujet. Il était ingénieur, géomètre et inventeur de nombreuses machines telles que la pompe à incendie, l’orgue à vent ou la machine à vapeur appelée l’éolipyle.

 Si la formule porte son nom, c’est parce qu’il l’a démontrée. La démonstration a été retrouvée en 1896 à Constantinople dans l’ouvrage Metrica. Cette formule étonnante de simplicité est pourtant méconnue des collégiens. Elle permet de calculer l’aire d’un triangle quelconque à partir de la longueur de ses côtés.

a, b et c étant les longueurs des côtés du triangle et p le demi périmètre, alors l’aire du triangle vaut :

Voici une démonstration:

Objectifs:

• Connaître le vocabulaire
• Savoir
  • Comparer, classer et mesurer de grandeurs par manipulation de solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles.
  • Mesurer des dimensions adéquates et calculer :
    • le volume et l’aire de prismes droits
    • le volume et l’aire de cylindres droits
    • le volume d’un solide (en le décomposant au besoin en solides simples)
  • calculer une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues
  • estimer des grandeurs, choisir une unité adéquate, prendre des mesures à l’aide d’un instrument adapté
  • exprimer une grandeur dans diverses unités :
    • volume, capacité, temps
    • vitesse

Théorie :

Aide-mémoire pages 91 à 93 (solides), 120 et 121 (diverses unités), 122 à 125 (aires et de volumes)

Exercices faits en classe :

QSJ p. 206, ex. suppl. changements d’unités, GM 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 ,97, 98, 99, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, exercices suppl. calculs de volumes

GM 111, 112, 113, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131

Exercices distribués en classes :

• changements d’unités: série 1
• calculs de volumes : série 1

Exercices d’entraînement:

• changements d’unités:
  • longueur : série 1, série 2
  • aire: série 1, série 2, série 3
  • volume: série 1, série 2
  • capacité: série 1
  • volume et capacité: série 1
  • temps: série 1, série 2, série 3, série 4, série 5, série 6
  • masse: série 1, série 2
• calculs d’aires et de périmètres de trapèzes: série 1, série 2
• calculs d’aires et de périmètres de triangles:
  • formule classique: série 1
  • formule de Héron: série 2
• calculs d’aires et de volumes: série 1

Tableaux pour les changements d’unités: longueur, aire, volume, capacité, volume et capacité, masse

Tableau à remplir soi-même: changements d’unités

« Prétest »:

• test 1
• test 2