11H – VP – FA4 – Équations de degré 2 et plus

Posté le 21.10.2015 |


L’histoire des équations quadratiques, i.e. des équations du second degré ax² + bx + c = 0, remonte à des périodes très reculées. Alors que les mathématiques de l’Égypte ancienne ont peu touché à ce domaine (du moins dans les papyrus actuellement en notre possession), nous devons aux civilisations qui se sont succédées en Mésopotamie plusieurs collections de textes de problèmes dont la solution conduit à la résolution d’équations quadratiques. Ces textes sont écrits dans l’écriture cunéiforme utilisée par les Sumériens dès la fin du quatrième millénaire avant J.-C., sur des tablettes d’argile. Certains datent de l’époque où l’élément sémitique akkadien submergea la brillante civilisation de Sumer, c’est-à-dire fin du troisième millénaire — début du second millénaire: SARGON d’Akkad s’empara du pouvoir vers 2300, les premières dynasties babyloniennes et assyriennes s’installèrent vers l’an 2000. Les autres s’échelonnent alors sur toute la période où la cité de Babylone ne cessa d’être le principal pôle culturel de la région, soit jusqu’au début de l’ère chrétienne.

Dans leurs écrits scientifiques — mathématiques, astronomie, sciences naturelles, médecine — les Babyloniens employaient un système de numération sexagésimal et positionnel. C’est à eux que nous devons l’actuel emploi de ce système dans la mesure du temps et des angles. Pour effectuer leurs calculs, ils disposaient de diverses tables numériques : de multiplication, de carrés, de cubes, d’inverses… Les problèmes étudiés provenaient aussi bien de leur activité économique (commerce, poids et mesures, impôts et calculs d’intérêts, superficie et production des domaines imposables) que de leurs préoccupations astronomiques (calendrier,astrologie). Ainsi, ils accumulèrent de nombreuses connaissances tant en arithmétique qu’en astronomie. Durant toute l’Antiquité, leur savoir astronomique jouit d’ailleurs d’une grande célébrité, et PTOLÉMÉE— qui travailla à Alexandrie de 127 à 141 après J.-C. — se servit de leurs tables d’éclipses pour remonter jusqu’à mille ans avant lui.

Voyons maintenant à travers un problème qui date de deux mille ans avant notre ère, la façon dont procédaient les Babyloniens pour résoudre les problèmes du second degré.

Problème

  • «J’ai additionné la surface et le côté de mon carré: 45’ »
  • « Tu poseras 1, l’unité. Tu fractionneras en deux 1 : 30’. Tu croiseras 30’ et 30’: 15’. Tu ajouteras 15’ à 45’: 1. C’est le carré de 1. Tu soustrairas 30’, que tu as croisé, de 1 : 30’, le côté du carré».

En appelant x le côté du carré, le problème posé consiste à résoudre l’équation x² + x = 0,75. (45’ en base 60 = 0,75 en base 10. C’est une équation du type x² + px = q avec p et q positifs (ici rationnels). Le procédé consiste à prendre p, le diviser par 2, élever au carré, ajouter q, prendre la racine carrée et retrancher p/2. C’est à dire une solution de l’équation x² + px = q :

x

Objectifs:

  • Connaître le vocabulaire
  • Savoir décomposer une expression littérale en produit de facteur en utilisant
    • la mise en évidence
    • la méthode du trinôme de degré 2
    • les identités remarquables
    • la méthode des groupements
  • Savoir résoudre une équation de degré supérieur à 1 en utilisant la factorisation
  • Savoir résoudre une équation de degré 2 en utilisant la formule de Viète

Théorie :

Aide-mémoire pages 56, 59.

formule de Viète : (démonstration)

Tutoriels vidéo:

Exercices faits en classe :

FA 205, 207, 208, 209, ex. suppl. 1 et 2, FA 210, 211, 213, ex. suppl. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 214, 230, 232, 229, 231, 234, 235, 236

FA 319, 320, 321, 322, ex. suppl. « diverses équations » A et B, FA 323, 324, 325, ex. suppl. « diverses équations » C à F, FA 326, 327, 328, 329, 331, 341, 342

Exercices distribués en classes :

Exercices d’entraînement:

« Prétest »: