Il y a un peu plus de 2000 ans, les chinois connaissaient des méthodes pour résoudre les systèmes linéaires proches de notre méthode des combinaisons linéaires. Ils employaient également la méthode de fausse position.
Le problème revient aujourd’hui à résoudre le système d’équations:
- 2x = 1 + y
- 3y = 1 + z
- 4z = 1 + x
x, y et z étant les poids respectifs d’une gerbe de récolte.
La méthode de la fausse position
L’enseignement des mathématiques évolue avec le temps et avec son temps. Des méthodes qui ont marqué nos aïeuls ne sont plus enseignées aujourd’hui car les besoins et les exigences changent et certaines machines modernes, comme la calculatrice, sont apparues. Enseignée dans les classes de l’école primaire pour l’obtention du Certificat d’étude, la méthode de fausse position fut une alternative pratique aux techniques de calculs algébriques.
Voilà un petit problème que l’on aurait pu trouver à l’examen du Certificat d’Étude :
« Un marchant de fruits et légumes a acheté l’ensemble de sa marchandise à 2 francs le kilo. Il vend les tomates à 5 francs le kilo. Celles-ci représentent le tiers de la marchandise. Le quart de sa marchandise sont des pommes vendues à 4 francs le kilo. Le reste est vendu au prix coûtant. La totalité de sa marchandise lui permet de réaliser un bénéfice de 198 francs. Quelle quantité de fruits et légumes en kilo a-t-il acheté au départ ? »
Ce problème peut se résoudre aujourd’hui d’une ou plusieurs équation(s) linéaire(s). Mais les méthodes algébriques n’entraient pas dans le programme des écoles primaires. Les écoliers ne désignaient pas l’inconnue par une lettre mais lui donnaient une valeur arbitraire :
Si le marchand avait acheté 12kg de marchandise, calculons son bénéfice :
- Dépense initiale : 2×12=24F.
- Vente des tomates : 5×12/3=20F
- Vente des pommes : 4×12/4=12F
- Vente du reste : 2×5=10F
- Somme perçue : 20+12+10=42F
- Bénéfice : 42-24=18F
- La marchandise est d’autant de fois 12kg que 18 francs est contenu dans 198 francs, soit : 12×198/18=132kg.
Objectifs:
- Connaître le vocabulaire
- Savoir
- résoudre un système d’équations du premier degré à deux inconnues
- par voie graphique
- par la méthode des combinaisons linéaires
- par substitution
- par un « mélange » des deux méthodes précédentes
- résoudre un système d’équations du second degré à deux inconnues
- traduire une situation par un système d’équations du premier degré à plusieurs inconnues
- résoudre des problèmes nécessitant le recours à l’algèbre
- résoudre un système d’équations du premier degré à deux inconnues
- Savoir exprimer chacune des variables d’une formule connue en fonction des autres.
Théorie :
Aide-mémoire pages 60 et 61.
Tutoriels vidéo:
- résoudre des systèmes d’équations:
- autres exemples de résolution: vidéo 1
- mettre un problème en équations: vidéo 1
Exercices faits en classe:
ex. suppl. « résolutions par voie graphique », FA 300, 301, 302, 303, ex. suppl. « systèmes avec fractions », FA 333, ex. suppl. « systèmes de degré 2 », FA 333, 335, 368, 369, 371, ex. suppl. « problèmes », ex. suppl. « transformations de formules »
Exercices distribués en classes :
- résolutions de systèmes de deux équations à deux inconnues par voie graphique: ici (corrigé)
- résolution de système de deux équations à deux inconnues avec des fractions: ici (corrigé)
- résolutions de systèmes de degré 2: ici (corrigé)
- problèmes à résoudre par voie algébrique: ici (corrigé)
- transformations de formules: ici (corrigé)
Exercices d’entraînement:
- systèmes de deux équations à deux inconnues de degré 1 (voie graphique): série 1, série 2
- systèmes de deux équations à deux inconnues de degré 1: série 1, série 2, série 3
- systèmes de deux équations à deux inconnues de degré 2: série 1, série 2
- systèmes de trois équations à trois inconnues de degré 1: série 1
- problèmes : série 1
- transformations de formules: série 1
« Prétest »: