11H – VP – GM2 – Aires, volumes et diverses grandeurs

Posté le 25.11.2015 |


Quelques considérations historiques

La démonstration de la formule du volume de la sphère est basé sur un argument énoncé par Archimède: “le volume d’une demi-sphère de rayon R est égal à la différence du volume d’un cylindre de hauteur R tangent à la demi-sphère et du volume d’un cône droit de hauteur R ayant une base commune avec le cylindre”.
Considérons le solide Z composé d’un cylindre de hauteur R dans lequel on a enlevé un cône ayant une base commune (B2) avec le cylindre et dont le sommet est le centre de l’autre base (B1) du cylindre.Traçons un plan parallèle α à la base B1 à une distance L de B1; il coupe la demi-sphère suivant un cercle de rayon AB = R1. L’aire de ce cercle est πR1². La figure (dans Z) découpée par α est un anneau de rayon DF = R et GF = R2. L’aire de cet anneau est π(R²-R2²).

démo volume sphère site2

En regardant la figure ci-dessus on voit que :

  • FC’ = FG = R2 car les triangles C’FG et C’F’G’ sont semblables et le triangle C’F’G’ est rectangle isocèle
  • BC = FC’

On a alors : BC = FG =R2

AC est un rayon de la sphère. Par Pythagore on a:

AB² = AC² – BC² ⇒ R1² = R² – R2² ⇒ πR1² = π(R² – R2²)

Ceci nous indique que les aires du cercle déterminé par le plan α sur la sphère et de l’anneau déterminé par α sur Z sont égales. Nous sommes  donc en présence de deux corps solides limités par deux plans parallèles qui sont tels que leurs intersections avec deux plans parallèles qui sont tels que leurs intersections avec deux plans sont des surfaces de même aire. Par le théorème de Cavalieri, on peut affirmer que ces deux corps ont le même volume. On a alors:

formule volume sphère

Le théorème de Cavalieri: Si deux solides sont compris entre deux plans parallèles et si toutes les intersections de ces solides avec un plan parallèle aux deux premiers ont même aire, alors les solides ont même volume.

Objectifs:

  • Connaître le vocabulaire
  • Savoir
    • comparer, classer et mesurer de grandeurs par manipulation de solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles.
    • mesurer des dimensions adéquates et calculer :
      • le volume et l’aire de prismes droits
      • le volume et l’aire de cylindres droits
      • le volume et l’aire d’une pyramide
      • le volume d’un cône
      • le volume et l’aire d’une sphère
      • le volume d’un solide (en le décomposant au besoin en solides simples)
    • calculer une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues
    • estimer des grandeurs, choisir une unité adéquate, prendre des mesures à l’aide d’un instrument adapté
    • exprimer une grandeur dans diverses unités :
      • volume, capacité, temps
      • vitesse
      • autres grandeurs (débit, masse volumique, …)

Théorie :

Aide-mémoire pages 91 à 93 (solides), 120 et 121 (diverses unités), 122 à 126 (aires et de volumes)

Changements d’unités de temps:

changement-unite-temps

Exemples:

  • transformer un code séxagésimal de temps en un code décimal de temps :
    • 2 h 24 min 36 s = 2 + (24:60) + (36 : 3600) =2 + 0,4 + 0,01 = 2,41 h
    • 12 h 48 min 45 s = 12 + (48 : 60) + (45 : 3600) = 12 + 0,8 + 0,0125 = 12,8125 h
  • transformer un code décimal de temps en un code séxagésimal de temps :
    • 7,605 h :
      • 7,605 – 7 = 0,605
      • 0,605 x 60 = 36,3 (transformation en minutes)
      • 36,3 – 36 = 0,3
      • 0,3 x 60 = 18 (transformation en secondes)
      • 7,605 h = 7 h 36 min 18 s

Exercices faits en classe:

  • QSJ p 191, GM 82, 84, 85, ex. suppl. changements d’unités,
  • GM 86, 87, 88, 90, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 112, 113, 114, 116, 117, 118, 119, 122, 125, 127, 129, 130, 131, 132, 134, 135, 145, 147
  • GM 158, 159,160, 162, 165, 167, 169

Exercices distribués en classes :

Exercices d’entraînement:

Tableaux pour les changements d’unités: longueur, aire, volume, capacité, volume et capacité, masse

Tableau à remplir soi-même: changements d’unités

“Prétest”:

TA d’entraînement sur les changements d’unités:

et un TA d’entrainement sur “vitesse, masse volumique, débit”: TA

Tests d’entraînement: