9H – MEP – Logique et stratégies

Posté le 23.06.2019 |


Objectifs

  • Connaître le vocabulaire
  • Savoir
    • résoudre des problèmes déductifs et numériques en développant des stratégies qui utilisent notamment :
      • le tri et l’organisation des informations (liste, tableau, schéma, croquis…)
      • la représentation schématique d’une situation (diagramme, arbre…)
      • l’ajustement d’essais successifs
      • la pose de conjectures (supposition sur « quelque chose qui semble vrai »), puis leur validation ou leur réfutation
      • la déduction d’informations nouvelles à partir de celles connues
      • la réduction temporaire de la complexité d’un problème
      • les propriétés des nombres et des opérations afin d’établir des preuves
      • la validation éventuelle de plusieurs solutions
      • la vérification puis la communication d’une démarche et d’un résultat en utilisant un vocabulaire, une syntaxe et des symboles adéquats
    • rédiger un compte-rendu d’une recherche comprenant des démarches mathématiques en mettant en évidence les trois parties :
      • Introduction : partie dans laquelle l’élève reformule la question, présente le problème et effectue si nécessaire un croquis
      • Recherche : partie dans laquelle l’élève présente sa démarche expérimentale contenant des calculs structurés ou des phases d’aller-retour entre question, hypothèse et expérience. L’élève analyse ensuite sa démarche en menant une réflexion, en émettant des conjectures ou en justifiant un résultat obtenu
      • Conclusion : partie dans laquelle l’élève rappelle les principaux résultats obtenus et répond à la question posée

 

Théorie :

Euréka 9S : p. 14-15

 

Transvasements :

On dispose de deux récipients de 11 et 9 litres et d’une fontaine.  Comment mesurer exactement 5 litres d’eau ?

Voici une méthode graphique pour résoudre ce problème :

L’état du système est décrit en fonction des contenus actuels de chaque récipient dans un repère (x , y).

  • Les seuls états déterminés sont ceux sur le périmètre du rectangle, et
  • les seuls déplacements possibles sont :
    • Vider un récipient ou le compléter à la fontaine : déplacements horizontaux et verticaux
    • Transvaser un récipient dans l’autre : déplacements en diagonale (x + y = constante).

C’est toujours le même récipient que l’on remplit à la fontaine et toujours le même que l’on vide quand il est plein, et on transfère chaque fois. On répète ces opérations jusqu’à obtenir la quantité souhaitée. On choisit alors celle des deux solutions qui est la plus économique. Revenir à un état d’où on est parti est inutile et on voit qu’il y a deux possibilités et deux seulement à partir du point (0,0), les deux récipients vides :

  • Remplir le récipient de 9 litres, le transvaser dans celui de 11, vider le récipient de 11 litres quand il est plein, de façon répétée : (0,0) (0,9) (9,0) (9,9) (11,7) (0,7) (7,0) (7,9) (11,5) (0,5) (chemin vert)
    • On remplit le 9 litres : (0,0) à (0,9)
    • On transvase le 9 litres dans le 11 litres : (0,9) à (9,0)
    • On remplit le 9 litres : (9,0) à (9,9)
    • On remplit complétement le 11 litres avec une partie des 9 litres : (9,9) à (11,7).
    • Le 11 litres est plein et il reste 7 litres dans le 9 litres
    • On vide le 11 litres : (11,7) à (0,7)
    • On remplit le 11 litres avec les 7 litres qu’il reste dans le 9 litres : (0,7) à (7,0)
    • On remplit le 9 litres (7,0) à (7,9)Avec le 9 litres on remplit complétement le 11 litres : (7,9) à (11,5).
    • Le 11 litres est plein et il reste 5 litres dans le 9 litres
  • Au contraire, remplir le récipient de 11 litres, le transvaser dans celui de 9, vider le récipient de 9 litres quand il est plein, de façon répétée : (0,0) (11,0) (2,9) (2,0) (0,2) (11,2) (4,9) (4,0) (0,4) (11,4) (6,9) (6,0) (0,6) (11,6) (8,9) (8,0) (0,8) (11,8) (10,9) (10,0) (1,9) (1,0) (0,1) (11,1) (3,9) (3,0) (0,3) (11,3) (5,9) (5,0) (en rouge)
    • On remplit le 11 litres : (0,0) à (11,0)
    • On remplit complétement le 9 litres avec le 11 litres : (11,0) à (2,9)
    • Il reste 2 litres dans le 11 litres. On vide le 9 litres (2,9) à (2,0)
    • On vide les 2 litres restants dans le 11 litres dans le 9 litres : (2,0) à (0,2)
    • On remplit le 11 litres : (0,2) à (11,2)
    • On complète le remplissage du 9 litres avec l’eau du 11 litres : (11,2) à (4,9)
    • Il reste 4 litres dans le 11 litres. On vide le 9 litres : (4,9) à (4,0)
    • …

La solution la plus rapide est donc la solution « verte » :

  • Remplir le récipient de 9 litres, le vider dans celui de 11.
  • Remplir de nouveau le récipient de 9 litres.
  • Compléter celui de 11 litres à partir du récipient de 9.
  • Il reste 7 litres dans le récipient de 9 litres.
  • Vider le récipient de 11 litres et transvaser les 7 litres dedans.
  • Remplir le récipient de 9, puis transvaser pour compléter celui de 11
  • Il reste 5 litres dans le récipient de 9.

 

Exercices faits en classe :

LS 03, ex. suppl. intégrammes, LS 05, 06, 07, ex. suppl. gratte-ciel, LS 09, 10, 12, 14, 18, 21, 23, 26, 27, 31, 32, 35, 36, 48, 49

 

Exercices supplémentaires :

Activités diverses :

Il existe une multitude d’autres « puzzles » numériques et logiques. Une liste exhaustive n’est pas possible. Cross+A en donne une liste très complète.

 

Tests :

test 1