9H – MEP – Polygones et pavages

Posté le 11.05.2020 |


Objectifs

  • Connaître le vocabulaire
  • Développer la vision dans le plan, notamment par :
    • la description de polygones réguliers selon leurs propriétés (mesures des angles, nombre d’axes de symétrie et de diagonales…)
    • la construction des différents polygones réguliers a l’aide de leurs propriétés ou à la règle et au compas
    • la reconnaissance et l’utilisation des isométries : translation, symétrie axiale, rotation et symétrie centrale
    • les compositions d’isométries et l’étude de certaines de leurs propriétés
    • la recherche de l’ensemble des polygones réguliers qui pavent le plan et sa justification
    • la recherche des pavages semi-réguliers et sa justification
    • la création de pavages à partir de polygones de base qui pavent le plan et dont les cotes sont transformés à l’aide d’isométries
    • la recherche des isométries permettant à un motif de paver le plan
    • la recherche du motif minimal d’un pavage et des isométries qui permettent ensuite de paver le plan
  • Savoir rédiger un compte-rendu d’une recherche comprenant des démarches mathématiques en mettant en évidence les trois parties :
    • introduction : partie dans laquelle l’élève reformule la question, présente le problème et effectue si nécessaire une figure d’étude
    • recherche : partie dans laquelle l’élève présente sa démarche expérimentale contenant des calculs structures ou des phases d’aller-retour entre question, hypothèse et expérience ; l’élève analyse ensuite sa démarche en menant une réflexion, en émettant des conjectures ou en justifiant un résultat obtenu
    • conclusion : partie dans laquelle l’élève rappelle les principaux résultats obtenus et répond à la question posée

 

Théorie :

Nombre de côtés Nom somme des angles intérieurs angle intérieur
1 monogone (segment)
2 digone (angle)
3 trigone (triangle) 180 60.00
4 tétragone (quadrilatère) 360 90.00
5 pentagone 540 108.00
6 hexagone 720 120.00
7 heptagone 900 128.57
8 octogone 1080 135.00
9 ennéagone 1260 140.00
10 décagone 1440 144.00
11 hendécagone 1620 147.27
12 dodécagone 1800 150.00
13 triskaidécagone (“kai” signifie “plus”) 1980 152.31
14 tétrakaidécagone, tétradécagone 2160 154.29
15 pentakaidécagone, pentadécagone 2340 156.00
16 hexakaidécagone, hexadécagone 2520 157.50
17 heptakaidécagone 2700 158.82
18 octakaidécagone 2880 160.00
19 ennéakaidécagone 3060 161.05
20 icosagone 3240 162.00
21 icosikaihenagone, icosihenagone 3420 162.86
22 icosikaidigone 3600 163.64
23 icosikaitrigone 3780 164.35
24 icosikaitétragone 3960 165.00
25 icosikaipentagone 4140 165.60
26 icosikaihexagone 4320 166.15
27 icosikaiheptagone 4500 166.67
28 icosikaioctagone 4680 167.14
29 icosikaiennéagone 4860 167.59
30 triacontagone (“conta” = “dizaine”) 5040 168.00
31 triacontakaihenagone 5220 168.39
40 tétracontagone 6840 171.00
50 pentacontagone 8640 172.80
60 hexacontagone 10440 174.00
70 heptacontagone 12240 174.86
80 octacontagone 14040 175.50
90 ennéacontagone 15840 176.00
100 hectogone, hecatontagone 17640 176.40
1000 chiliagone 179640 179.64
10000 myriagone 1799640 179.96

 

Frises :

définition : Une frise est une bande du plan dans laquelle un motif (figure du plan) se répète régulièrement par une même translation.

Le motif qui se répète s’appelle la maille (“zone brune” sur les dessins ci-dessous). Cette maille est obtenue à partir d’une figure élémentaire (en bleu ci-dessous) et d’un certain nombre de transformations géométriques qui peuvent être combinées:

  • la translation
  • la symétrie axiale
  • la symétrie centrale
  • la symétrie glissée
  • la rotation

La frise suivante est obtenue à partir de la figure élémentaire bleue qui subit successivement une symétrie axiale, une symétrie glissée, une symétrie centrale et ainsi de suite. La maille (encadrée en brun) est composée de 3 figures élémentaires.

Pavages :

définition : un pavage du plan est un ensemble de portions du plan, par exemple des polygones, dont l’union est le plan tout entier, sans recouvrement.

vidéo : classification des pavages

 

Exercices faits en classe :

Exercices supplémentaires :

 

Tests :