9H – MEP – Opérations sur les nombres

Posté le 03.11.2019 |


Objectifs

  • Connaître le vocabulaire
  • Savoir
    • résoudre des problèmes numériques, notamment en utilisant :
      • les propriétés des nombres et des opérations
      • la factorisation en produit de nombres premiers
      • les critères de divisibilité
      • les notions de ppmc et pgdc
      • l’ajustement d’essais successifs
      • la pose de conjecture, puis la validation ou la réfutation
      • la réduction temporaire de la complexité d’un problème
  • Rédaction d’un compte-rendu comprenant les démarches mathématiques en mettant en évidence les trois parties : introduction, recherche, conclusion

 

Quelques notes historiques sur les nombres premiers

C’est avec Euclide d’Alexandrie (-320? ; -260?), que les théories sur les nombres premiers se mettent en place. Dans « Les éléments » (livres VII, VIII, IX), il donne des définitions, des propriétés et démontre certaines affirmations du passé, comme l’existence d’une infinité de nombres premiers: « Les nombres premiers sont en quantité plus grande que toute quantité proposée de nombres premiers ».

Il présente aussi la décomposition en facteurs premiers liée à la notion de PGCD.
Exemple :

  • 30 se décompose en 2 x 3 x 5 et 70 se décompose en 2 x 5 x 7. Tous les facteurs sont des nombres premiers.
  • Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30
  • Les diviseurs de 70 sont : 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 et 70
  • Les diviseurs communs à 30 et 70 sont : 1, 2, 5 et 10. Le plus grand est 10.
  • On dit que 10 est le PGDC (Plus Grand Diviseur Commun) de 30 et 70.

Cette méthode permettant de déterminer le PGDC de deux nombres voit vite ses limites. Euclide a laissé son nom à un algorithme permettant de calculer le PGCD de deux nombres. Pour obtenir plus de détails et essayer l’algorithme d’Euclide, cliquez sur le lien en bas de page.

Un autre grec, Eratosthène de Cyrène (-276 ; -194), est l’auteur d’un célèbre crible qui permet par une méthode simple d’obtenir des nombres premiers ! Par éliminations successives des multiples des premiers nombres premiers de la liste, on obtient les suivants.

L’idée est simple.
Pour obtenir les nombres premiers inférieurs à n :

  1. Écrire tous les entiers de 2 à n,
  2. Enlever (ou barrer) les multiples de 2 sauf 2,
  3. Récupérer le plus petit nombre nom barré, c’est à dire 3, et barrer les multiples de 3 sauf 3,
  4. etc…
  5. Test d’arrêt : On s’arrête dès qu’on a atteint la racine carrée de n.
  • Voici une jolie animation du crible trouvée sur internet.
New Animation Sieve of Eratosthenes.gif
« New Animation Sieve of Eratosthenes » par M.Qrius

 

Théorie:

Euréka 9S p. 42 à 46

liste des nombres premiers jusqu’à 50000 : site

Tutoriels vidéo:

  • PGDC: vidéo 1, vidéo 2, vidéo 3
  • Déterminer le PGCD et le PPCM par décomposition: vidéo
  • vérifier si deux nombres sont premiers entre eux: vidéo
  • savoir si un nombre es divisible par 11: vidéo
  • déterminer tous les diviseurs d’un nombre par décomposition : vidéo

D’autres choses utiles :

  • Pour la divisibilité par un nombre composé dont on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers n = p1k1…prkr, il suffit d’appliquer la règle générale : un nombre est divisible par n si et seulement s’il est divisible par chacun des piki.
    • un nombre est divisible par 12 si et seulement s’il est divisible par 3 et par 4 (car 12 = 22 x 3 = 4 x 3)
    • un nombre est divisible par 36 si et seulement s’il est divisible par 9 et par 4 (car 36 = 22 x 32 = 4 x 9)
    • un nombre est divisible par 360 si et seulement si il est divisible par 5, 8 et 9 (car 360 = 5 x 22 x 32 = 5 x 8 x 9)
  • Critère de divisibilité par 2n : Un nombre est divisible par 2n si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 2n.
    • Un nombre est divisible par 16 = 24 si et seulement si le nombre formé par ses 4 derniers chiffres est divisible par 16.
    • Un nombre est divisible par 32 = 25 si et seulement si le nombre formé par ses 5 derniers chiffres est divisible par 32. Par exemple : 87 753 216 864 est divisible par 32 car 16 864 est divisible par 32.
  • Critère de divisibilité par 5n : Un nombre est divisible par 5n si et seulement si ses n derniers chiffres forment un nombre divisible par 5n.
    • Un nombre est divisible par 25 = 52 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 25, c’est-à-dire si son écriture « se termine » par 00, 25, 50 ou 75. Par exemple : 258 975 est divisible par 25 car il se termine par 75.
    • Un nombre est divisible par 125 = 53 si et seulement si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 125. Par exemple 257 543 625 est divisible par 53 = 125 car 625 est divisible par 125.
  • Critère de divisibilité par 10n : Un nombre est divisible par 10n si et seulement si ses n derniers chiffres sont égaux à 0.
    • 652 500 000 est divisible par 105 car ses 5 derniers chiffres sont des 0.
  • Le produit de deux nombres consécutifs est divisible par 2 (car parmi deux nombres consécutifs il y en a forcément un qui est pair)
  • le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 6 (car parmi trois nombres consécutifs il y en a forcément un qui est un multiple de 3 et au moins un qui est pair).
  • Le produit de deux nombres pairs consécutifs est toujours divisible par 8.

Critères de divisibilité exotiques :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

et aussi :

137, 271

 

Théorème permettant d’affirmer que entier est premier:

Théorème de Wilson : Un entier p strictement plus grand que 1 est un nombre premier si et seulement s’il divise (p–1)! + 1, c’est-à-dire si et seulement si :  (p-1)! + 1 est égal à 0 modulo p.

Le théorème de Wilson est remarquable car c’est l’un des rares critères simples (avec la méthode naïve des divisions successives) permettant de dire avec certitude si un nombre est premier ou non. Malheureusement, il est peu utile en pratique !

Exemples :

  • Si on prend p = 7, alors (p–1)! + 1 = 6! + 1 = 721. En calculant le reste de la division de 721 par 7, on obtient 0 (car 720 =7 x 100 + 21). 7 est donc bien un nombre premier.
  • Si on prend p = 8, alors (p-1)! + 1 = 7! + 1 = 5041. En calculant le reste de la division de 5041 par 8, on obtient 1 (car 5041 = 4800 + +240 + 1). 8 n’est donc pas un nombre premier car le reste n’est pas 0.

 

Nombres particuliers :

  • nombres premiers : un nombre est premier s’il possède deux diviseurs, 1 et lui-même.
  • nombres amicaux : deux nombres sont dits amicaux si la somme respective de leurs diviseurs est égal à leur somme.
    • exemple : 220 +284 = 504  /  1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 + 220 = 504  /  1 + 2 + 4 + 71 + 142 + 284 = 504
  • nombre parfait : un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs « propres » (c’est-à-dire ses diviseurs autres que lui-même). Un nombre premier est un nombre dont la somme des diviseurs propres vaut 1.
    • nombre presque-parfait : un nombre est presque-parfait si la somme de ses diviseurs propres est de 1 inférieure ou supérieure à lui-même
    • nombre déficient : un nombre est déficient si la somme de ses diviseurs propres est inférieure à lui-même
    • nombre abondant : un nombre est abondant si la somme de ses diviseurs propres est supérieure à lui-même
      • nombre abondant primitif : nombre abondant dont les diviseurs propres sont tous déficients
  • nombre semi-parfait un nombre est semi-parfait si il existe un sous-ensemble de diviseurs propres dont la somme est égale à lui-même.
    • exemple : 30 = 1 + 3 + 5 + 6 + 15 = 2 + 3 + 10 + 15 = 5 + 10 + 15
  • Nombre multiparfait : un nombre est multiparfait si la somme de ses diviseurs est un multiple de lui-même. 120 est multiparfait car la somme de ses diviseurs est 360 (on dit même que 120 est triparfait). Tout nombre parfait est biparfait (multiparfait de multiple 2).
  • nombres aimables : deux nombres sont aimables si l’un des nombres est la somme des diviseurs propres de l’autre et vice versa.
    • triplet aimable : La somme des diviseurs propres de l’un est égale à la somme des diviseurs propres des deux autres.
      • (8 ; 4 ; 9) ; (20 ; 6 ; 12) ; …
    • chaîne aimable : dans une chaîne amiable, chaque nombre est égal à la somme des diviseurs propres du précédent; la somme du dernier étant égale au premier nombre.

 

 

 

 

 

 

  • nombre sublime : un nombre est sublime si le nombre de ses diviseurs et la somme de ses diviseurs sont deux nombres parfaits.
    • 12 est un nombre sublime : il possède 6 diviseurs (1, 2, 3, 4, 6, 12) et 6 est un nombre parfait /  1+2+3+4+6+12=28 et 28 est un nombre parfait.
  • nombre digistible : un nombre est digisible s’il remplit les trois conditions suivantes :
            • aucun de ses chiffres n’est nul
            • il s’écrit avec des chiffres tous différents
            • il est divisible par chacun d’eux
  • …

 

Calculateurs en lignes:

 

Engrenages :

 

Exercices faits en classe:

ON 2, 3, 4, 5, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28

ON 43, 44, 45, 46, 49, (50), 51, 52, 55, 56

 

Exercices d’entraînement:

Exercices à faire en ligne sur multimaths.net (choisir « Parcours libre » – « nombres entiers », puis « critères de divisibilité »)

 

« Prétest »: