10H – VP – GM1 – Aire et périmètre de polygones et de disques – théorème de Pythagore

Quelques notes historiques sur le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est un théorème fondamental de la géométrie classique. Il énonce une relation entre les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle.

Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Le théorème de Pythagore doit son nom au mathématicien grec Pythagore. Toutefois, il n’existe aucun écrit de Pythagore. Il aurait vécu à Crotone au sud de l’actuelle Italie et y aurait fondé une école, l’école des pythagoriciens. De nombreux résultats élémentaires de géométrie leur sont attribués.

Toutefois, le théorème de Pythagore était connu par des civilisations antérieures à la civilisation grecque. Les scribes assyriens et babyloniens réalisaient des exercices de mathématiques sur des tablettes d’argile séchées. On en a retrouvés beaucoup en Irak et en Iran. Ces tablettes concernent des problèmes d’arithmétique, parfois des exercices de géométrie. Seuls les triangles rectangles étaient étudiés, et les scribes savaient calculer des longueurs inconnues. Ils utilisaient le théorème de Pythagore (on ignore s’ils en connaissaient la preuve).

La première preuve écrite du théorème de Pythagore date du IV^e siècle av. J.-C. C’est Euclide qui l’a donnée dans le livre I de ses Éléments : c’est une œuvre majeure dans l’histoire des mathématiques. On connaît son contenu par une traduction arabe.

Une deuxième preuve du théorème a été donnée en Chine dans le Zhoubi Suanjung vers le II^e siècle av. J.-C. (la date est incertaine). Le théorème est appelé en Asie théorème de Gougu. Cette preuve est sensiblement différente de celle d’Euclide. Il est vraisemblable que les deux preuves ont été données indépendamment.

Au IX^e siècle, le mathématicien de langue arabeAl Kashi généralisa le théorème de Pythagore : il énonça le théorème dit d’Al Kashi. Ce théorème donne une relation entre les longueurs des trois côtés d’un triangle quelconque et la mesure d’un de ses angles.

Petits contes mathématiques: vidéo

Carnet de voyage du nombre pi – Micmaths

Objectifs :

• connaître le vocabulaire
• savoir
  • comparer, classer et mesurer des grandeurs par manipulation de lignes, angles, surfaces, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles
  • estimer des grandeurs, choisir des unités adéquates, prendre des mesures à l’aide d’un instrument adapté et exprimer une grandeur avec des unités de longueur et d’aire
• savoir mesurer des dimensions adéquates afin de pouvoir calculer
  • le périmètre et l’aire d’un disque
  • la longueur d’un arc de cercle
  • le périmètre et l’aire d’un secteur circulaire
  • le périmètre et l’aire d’un polygone quelconque par décomposition en figures simples
• savoir calculer
  • le périmètre et l’aire d’un disque
  • la longueur d’un arc de cercle et l’aire d’un secteur circulaire
  • le périmètre et l’aire d’un polygone quelconque par décomposition en figures simples
  • calculer une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues (hauteur d’un triangle à partir de sa base et de son aire, …)

• connaître l’énoncé du théorème de Pythagore et savoir l’utiliser.

Théorie :

La nouvelle théorie de ce thème se trouve aux pages 124, 126 et 127 de l’Aide-Mémoire.

Quelques démonstrations du théorème de Pythagore ici.

Tutoriels vidéo:

• calcul de l’aire d’un disque: vidéo 1
• calcul de périmètre (figure composée avec un cercle): vidéo 1
• calcul d’une aire (figure composée avec un disque): vidéo 1
• théorème de Pythagore:
  • calcul de longueur: vidéo 1, vidéo 2
  • pour vérifier si un triangle est rectangle: vidéo 1, vidéo 2

Animations GeoGebra (liens directs vers les animations ou alors cliquer sur l’icône  pour télécharger l’outil au format GeoGebra):

• démonstrations graphiques du théorème de Pythagore : animations ou 1, 2, 3

pour télécharger GeoGebra cliquer ici

Divers:

• π sous toutes les coutures
• Tableaux pour les changements d’unités : unités de longueur, unités d’aires
• formule de Pick : série 1, série 2, série 3, série 4

Arcs de cercle et secteurs circulaires

Un arc de cercle est une partie d’un cercle comprise entre deux points. Deux points d’un cercle déterminent deux arcs de cercle. La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle formé par les deux points et le centre du cercle. On peut donc utiliser un tableau de proportionnalité pour faire les calculs relatifs à cet arc de cercle (longueur, rayon du disque, angle au centre, …)

Remarque : Les deux extrémités d’un diamètre déterminent deux arcs de cercle de même longueur, que l’on appelle des demi-cercles.

Un secteur de disque ou secteur circulaire est une portion de disque limitée par deux rayons du disque. L’aire d’un secteur circulaire est proportionnelle à son angle. On peut donc utiliser un tableau de proportionnalité pour faire les calculs relatifs au secteur circulaire (aire, rayon du disque, angle au centre, …)

On peut facilement calculer le périmètre du secteur circulaire en ajoutant à l’arc de cercle AB deux fois le rayon du cercle :

Remarque : Quand on construit un diagramme circulaire, on est conduit à délimiter plusieurs secteurs circulaires dont les angles sont proportionnels aux effectifs représentés.

Exercices faits en classe :

• QSJ p. 185.186, ex. suppl. changements unités, GM3
• GM 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ex. supplémentaire : « formule de Pick »
• GM 14, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 40, 43, 44
• GM 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 45, 46, 48, ex. supplémentaires « calculs divers avec des secteurs circulaires »
• QSJ p. 201-202, GM 50, 51, 57, 59, 56, 58, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 70
• GM 73, 74, 76, 77, 79, 80, 81

Exercices distribués en classe:

• changements d’unités de longueur et d’aire : série 1
• formule de Pick : série 1
• calculs divers avec des secteurs circulaires : série 1

Exercices d’entraînement:

• changements d’unités de longueurs: série 1, série 2, série 3, série 4, série 5
• changements d’unités d’aires: série 1, série 2, série 3, série 4, série 5
• aire du triangle: série 1
• aire du trapèze : série 1
• calculs d’aires et de périmètres de secteurs circulaires: série 1
• calculs d’aires et de périmètres de disque: série 1
• calculs d’aires de couronnes circulaires: série 1
• calculs d’aires et de périmètres de formes diverses: série 1 (corrigé)
• théorème de Pythagore: série 1
  

« Prétest »:

Voici un test d’entraînement