10H – MEP – Nombres remarquables

Posté le 02.01.2021 |


Objectifs :

– Définition de ℕ, ℤ et ℚ
– Définition de ℝ comme extension de ℚ par les nombres dont le développement décimal est infini non périodique
– Transformation de nombres en code décimal périodique, en code fractionnaire et en fraction continuée
– Explorations historiques et expérimentales du nombre pi, du nombre d’or et de racine carrée de deux
– Rédaction d’un compte-rendu comprenant les démarches mathématiques en mettant en évidence les trois parties : introduction, recherche, conclusion

Théorie : Livre p. 43 à 48

Fractions continuées

Algorithme d’Euclide : vidéo (ici l’algorithme est utilisé pour déterminé un PGCD).

Mais l’algorithme d’Euclide peut être utilisé pour transformé une fraction unique en fraction continuée.

1er exemple :

19:7={\color{Red} 2}\; reste\;5\rightarrow \frac{19}{7}={\color{Red} 2}+\frac{5}{7}
7:5={\color{Green} 1}\; reste\;2\rightarrow \frac{7}{5}={\color{Green} 1}+\frac{2}{5}\rightarrow \frac{5}{7}=\frac{1}{{\color{Green} 1}+\frac{2}{5}}\rightarrow \frac{19}{7}={\color{Red} 2}+\frac{1}{{\color{Green} 1}+\frac{2}{5}}
5:2={\color{Blue} 2}\; reste\;1\rightarrow \frac{5}{2}={\color{Blue} 2}+\frac{1}{2}\rightarrow \frac{2}{5}=\frac{1}{{\color{Blue} 2}+\frac{1}{2}}\rightarrow \frac{19}{7}={\color{Red} 2}+\frac{1}{{\color{Green} 1}+\frac{1}{{\color{Blue} 2}+\frac{1}{2}}}
2:2=1\; reste\;0

2ème exemple:

\frac{31}{11}={\color{Red} 2}+\frac{1}{{\color{Green} 1}+\frac{1}{{\color{Blue} 4}+\frac{1}{{\color{Magenta} 2}}}}

car

  • 31:11= 2\: reste\: 9\rightarrow 31={\color{Red} 2}\cdot 11+9
  • 11:9= 1\: reste\: 2\rightarrow 11={\color{Green} 1}\cdot 9+2
  • 9:2= 4\: reste\: 1\rightarrow 9={\color{Blue} 4}\cdot 2+1
  • 2:1= 2\: reste\: 0\rightarrow 2={\color{Magenta} 2}\cdot 1+0

Sur le site https://calculis.net/pgcd on peut obtenir facilement le même résultat !

Fractions égyptiennes:

Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, c’est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à un et des dénominateurs entiers positifs, avec ces dénominateurs tous différents les uns des autres.
Il peut être montré que tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d’une infinité de façons différentes.

Voici un algorithme permettant de décomposer toute fraction en un nombre minimal de fractions unitaires permettant une décomposition en fractions égyptiennes:

Exemple : La fraction 5/8.

\bullet \; 8:5={\color{Red}1}\: reste\: 3

\bullet \; {\color{Red}1}+1={\color{Blue} 2}\rightarrow \frac{5}{8}=\frac{1}{{\color{Blue}2}}+\, ?

\bullet \; ?=\frac{5}{8}-\frac{1}{2}=\frac{5\cdot 2-1\cdot8}{8\cdot 2}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}

\bullet \; \frac{5}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}

Ici l’opération s’arrête. Mais si on n’obtient pas une fraction avec un dénominateur égal à 1, il faut répéter le même procédé jusqu’à l’itération qui donne une fraction dont le numérateur divise le dénominateur.

Une autre manière de procéder est donnée par l’algorithme “glouton” (voir ici)

Nombres d’or, d’argent et de bronze

  • nombre d’or

Un nombre étonnant, mystérieux et magique pour avoir fait parler de lui depuis la plus haute antiquité dans de nombreux domaines tels que la géométrie, l’architecture, la peinture, la nature, … Il serait une expression d’harmonie et d’esthétique dans les arts bien que certains lui reproche son caractère ésotérique qui cherche absolument à lui trouver une obscure beauté et qui semble y parvenir !

On le note φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (Ve siècle avant J.C.) qui participa à la décoration du Parthénon sur l’Acropole à Athènes.

Quant à son nom, il a évolué avec le temps. Le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli (1445 ; 1517) parle de « Divine proportion », plus tard le physicien Johannes Kepler (1571 ; 1630) le désigne comme le « joyau de la géométrie ». Alors que pour Léonard de Vinci, ce sera la « section dorée ». Il faudra attendre 1932, avec le prince Matila Ghyka, diplomate et ingénieur pour entendre le terme de « nombre d’or ». Mais c’est le grec Euclide d’Alexandrie (-320? ; -260?) qui pour la première fois en donne une définition dans son œuvre « Les éléments ».

\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618...=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}}=\left [ 1;1;1;1;1;... \right ]

On appelle rectangle d’or un rectangle tel que le rapport des mesures de sa longueur et de sa largeur soit le nombre d’or, c’est à dire tel que son format vérifie L/l = φ.

Pour construire une rectangle d’or on peut procéder ainsi :

  • Construire un carré ABCD de x cm de côté.
  • Construire le point E, milieu du segment AD.
  • Tracer le cercle c de centre E et de rayon EC.
  • F est l’intersection de c et du prolongement de AD.
  • Placer le point G de sorte à ce que AFGB soit un rectangle. AFBG est un rectangle d’or.

On peut obtenir un rectangle d’or plus petit en enlevant le plus grand carré possible dans le rectangle d’or d’origine. Le processus peut être répéter pour obtenir des rectangles d’or encore plus petit.

  • nombre d’argent

\phi _{argent}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}=2,4141...=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{...}}}}}=\left [ 2;2;2;2;2;... \right ]

Un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur est égal au nombre d’argent est parfois appelé « rectangle d’argent », par analogie avec le rectangle d’or.

Pour construire une rectangle d’argent on peut procéder ainsi :

  • Construire un carré ABCD de x cm de côté.
  • Tracer le cercle c de centre D et de rayon BD.
  • E est l’intersection de c et du prolongement de AD (A est entre D et E).
  • Tracer un cercle d de centre D et de rayon DC.
  • G est l’intersection de d et du prolongement de AD (D est entre A et G).
  • Placer les points H et J et de sorte que EHJG soit un rectangle. EHJG est un rectangle d’argent.

On peut obtenir un rectangle d’argent plus petit en enlevant les deux plus grands carrés identiques dans le rectangle d’argent d’origine. Le processus peut être répéter pour obtenir des rectangles d’argent encore plus petits.

  • nombre de bronze

\phi _{bronze}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}=3,3027...=3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{...}}}}}=\left [ 3;3;3;3;3;... \right ]

Un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur est égal au nombre de bronze est parfois appelé « rectangle de bronze », par analogie avec le rectangle d’or.

Pour construire une rectangle de bronze on peut procéder ainsi :

  • Construire un rectangle de largeur AD = 2x et de longueur AB = 3x (x est une longueur quelconque).
  • Tracer le cercle c de centre D et de rayon DB.
  • E est l’intersection de c et du prolongement de DC (C est entre D et E).
  • Tracer un cercle d de centre D et de rayon DC.
  • F est l’intersection de d et du prolongement de DC (D est entre C et F).
  • Placer les points G et H de sorte à ce que FGHE soit un rectangle. FGHE est un rectangle de bronze.

On peut obtenir un rectangle de bronze plus petit en enlevant les trois plus grands carrés identiques dans le rectangle de bronze d’origine. Le processus peut être répéter pour obtenir des rectangles de bronze encore plus petits.

Exercices faits en classe :

NR 08, 09, 11, 12, 14, 15, 18, 24, 25, 26, 29, 30, 31

“Prétest”: