Développements limités

En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d’une fonction en un point est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point, c’est-à-dire l’écriture de cette fonction sous la forme de la somme :

d’une fonction polynomiale ;
d’un reste négligeable au voisinage du point considéré.

En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l’erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l’erreur autorisée. Si l’on se contente d’un développement d’ordre 1, on parle d’approximation linéaire ou d’approximation affine.

En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu’une fonction est intégrable ou non, ou encore d’étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.

Définitions

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I, et $x_{0}\in I$ . Si f est n fois dérivable en x₀, alors on dit que f admet un développement limité d’ordre n (abrégé par DL_n) en $x_{0}$ si la fonction R(x) ( $I\rightarrow \mathbb{R}$ ) définie comme suit

\[f(x)=f(x_{0})+f{^{(1)}}(x_{0})(x-x{_{0}})+f^{(2)}(x_{0})(x-x_{0})^{2}+…+f^{(n)}(x_{0})(x-x{_{0}})^{n}+R(x) (*)\]

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n}{f^{(i)}({x-x_0)}^i+R(x)}\]

vérifie

\[\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{R(x)}{(x-x_{0})^{i}}=0\]

Ce qui signifie : R(x) tend vers 0 lorsque x tend vers $x_{_{0}}$ , et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme).

Dans l’expression (*) $f^{(i)}$ représente la dérivée i-ème de f.

Les fonctions vérifiant ceci sont notées $o((x-x_{0})^{n})$ . On écrit donc :

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n}{f^{(i)}({x-x_0)}^i+o((x-x_0)^n)}\]

Le nombre n est appelé ordre de développement.

Il est fréquent de chercher plutôt un développement limité au voisinage de 0 dont l’expression se trouve être plus simple :

\[f(x)=\sum_{i=0}^{n}{f^{(i)}x^i+o(x^n)}\]

Les développements limités sont utiles, notamment pour déterminer les limites d’expressions. Pour lever une forme indéterminée dans une limite, la question est de savoir quelle partie de l’expression l’emporte sur l’autre. On peut souvent s’en sortir avec des équivalents, mais il y a des cas où les termes principaux que sont les équivalents se compensent et disparaissent. Dans ce cas, on pas forcément assez de précision pour conclure. Quand on procède par développement limité, cela signifie simplement qu’il faut pousser le développement plus loin jusqu’à avoir suffisamment de termes pour lever l’indétermination.

plus de théorie

Exercices :

Série 1
Série 2
Série 3
Série 4 : calcul de limites avec les développements limités

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